Semantik
(Logik Einführung Kapitel 6)Lassen sich unser Wissen und unsere Schlüsse formal repräsentieren, wollen wir diesen sinnentleerten Symbolfolgen wiederum Bedeutungen und somit Bewertungen zuweisen.
D.h. in der Semantik wird die Bedeutung/Bewertung der Sätze und damit ihr Gehalt oder Wahrheitswert in der Welt definiert.
Wir brauchen also Regeln, die festlegen, welche Bedeutung eine Aussage in einer bestimmten Welt (zu einem bestimmten Zeitpunkt) hat.
Um die Bedeutung einer Aussage in einer bestimmten Welt (zu einem bestimmten Zeitpunkt) erfassen zu können, müssen wir einerseits
Mit Begriffen wie der Erfüllbarkeit oder der Gültigkeit wird der Zusammenhang zwischen einer Aussage und ihren möglichen Interpretationen bezeichnet.
Die Semantik (Bedeutungslehre) beschäftigt sich mit der Bedeutung von sprachlichen Zeichen, Worten und Sätzen.
D.h. in der Semantik wird die Bedeutung/Bewertung der Sätze und damit ihr Gehalt oder Wahrheitswert in der Welt definiert.
Wir brauchen also Regeln, die festlegen, welche Bedeutung eine Aussage in einer bestimmten Welt (zu einem bestimmten Zeitpunkt) hat.
Beispiel - unterschiedliche Welten: Wumpus-Welt
Betrachten wir wieder die Wumpus-Welt.
Bei dem Spiel ist grundsätzlich jede mögliche Spielumgebung eine Welt.
In unterschiedlichen Umgebungen kann die Aussage Luftzug(B,3) zutreffen, also wahr sein, oder auch nicht.
Da sich der Agent bewegen kann, ist eine Welt nicht nur durch die Spielumgebung definiert, sondern auch durch jeden einzelnen Spielzeitpunkt.
Beispiel - unterschiedliche Welten: Zahlen
Definieren wir die Bedeutung des Symbols '+' standardmäßig, könntein der Welt der natürlichen Zahlen bedeuten, dass
- die Symbolfolge x+y=10
in der Welt der binären Zahlen hingegen, dass
- x=3 und y=7 ist
- x=1 und y=1 sind
- die Interpretation (also die Bedeutung) der Elementaraussagen in dieser Welt (zu diesem bestimmten Zeitpunkt) kennen
- wie wir aus diesen einzelnen Bedeutungen eine Bewertung des ganzen Satzes generieren.
Mit Begriffen wie der Erfüllbarkeit oder der Gültigkeit wird der Zusammenhang zwischen einer Aussage und ihren möglichen Interpretationen bezeichnet.
Interpretation
(Logik Einführung Kapitel 6.1)Die Interpretation einer Formel ist eine, vom Zustand der Welt abhängige, Bewertung ihrer Atome.
Beispiel - Interpretation Wumpus-Welt
Betrachten wir wieder die Wumpus-Welt.
Wir wollen Formeln wie z.Bdahingehend bewerten, ob sie wahr oder falsch sind.
- Luftzug(B,1) UND Gestank(A,2)
In allen Welten, in denenergibt die Interpretation der Formel für die Elementaraussage
- auf Feld [B,1] ein Luftzug wahrnehmbar ist
In allen Welten, in denen
- Luftzug(B,1) wahr
ergibt die Interpretation der Formel für die Elementaraussage
- auf Feld [A,2] ein Gestank wahrnehmbar ist
- Gestank(A,2) wahr
Beispiel - Interpretation von Ereignissen
Angenommen unser Wissen bezieht sich auf Ereignisse und die Bedeutung der Ereignisse liegt für uns in der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens und wir interessieren uns für die beiden SätzeMittels einer Interpretation der Lage stellen wir z.B. fest, dass die Wahrscheinlichkeit, dass
- "Es regnet heute"
- "Mutter ruft heute an"
- es heute regnet bei 40% liegt, und
- Mutter heute anruft 20% ist.
Bewertungsfunktion
(Logik Einführung Kapitel 6.2)Diese Seite nimmt Bezug auf
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- Logik Einführung: Die Wumpus-Welt
- Logik Einführung: Atome & Junktoren
- Logik Einführung: Syntax
- Logik Einführung: Semantik
- Logik Einführung: Interpretation
Um zusammengesetzten Aussagen eine Bewertung zuweisen zu können, definieren wir für alle nichtatomaren Elemente einer Formel, welche Gesamtbewertungen sich aus den Wahrheitswertkombinationen der Argumente ergeben.
Die Bewertungsfunktion (auch Auswertungsfunktion, Denotationsfunktion, Wahrheitswertefunktion) legt fest, wie aus der Bewertung der Elementaraussagen die Bedeutung zusammengesetzter Aussagen zu generieren ist.
Die Bewertungsfunktion wird oft als Erweiterung der Interpretation angesehen.
Sie kann z.B. über Regeln oder durch Wahrheitstabellen definiert werden.
Eine Wahrheitstabelle (oder auch Wahrheitstafel) ist eine Tabelle, die jeder möglichen Kombination einer endlichen Anzahl von Wahrheitswerten ein Ergebnis zuweist.Beispiel - Bewertung Wumpus-Welt
Führen wir das Beispiel aus dem Kapitel "Interpretation" fort.
Da die Symbolfolge UND unserem umgangssprachlichen "und" entsprechen soll, definieren wir mittels der Bewertungsfunktion, dass
- eine mit UND zusammengesetzte Formel 'A UND B' genau dann wahr ist, wenn die Formeln A und B beide wahr sind.
Die Wahrheitstabelle sieht wie folgt aus:
A B A UND B falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Beispiel - Bewertung von Ereignissen
Führen wir das Beispiel aus dem Kapitel "Interpretation" fort.
Wir definieren die Bewertungsfunktion z.B. so, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens 2er Ereignisse A UND BSomit ergibt sich für die Aussage
- die Wahrscheinlichkeit_von_A* Wahrscheinlichkeit_von_B ist.
die Bewertung (also die Wahrscheinlichkeit)
- "Es regnet heute UND Mutter ruft heute an"
- 8%
Extensionalität / Intensionalität
(Logik Einführung Kapitel 6.3)Die Extensionalität (oder auch Wahrheitsfunktionalität) ist eine Eigenschaft von Sprachen, die besagt, dassfestgelegt ist.
- die Bedeutung eines Wortes eindeutig durch den benannten Gegenstand, und
- die Bedeutung eines zusammengesetzten Ausdrucks eindeutig durch die Bedeutung der Worte und deren Zusammensetzung
Ein Junktor ist extensional, wenn die Bedeutung einer durch ihn gebildeten Formel eindeutig durch die Bedeutung seiner Argumente bestimmt ist.Beispiel - Extensionale Sprachen
Die Sprache der Arithmetik ist extensional:
Z.B. die Bedeutung der Aussageist eindeutig durch die Teilaussagen
- A+B
gegeben.
- A
- +
- B
Genauso ist es in der Wumpus-Welt:
Z.B. die Bedeutung der Aussageist eindeutig durch die Bedeutung der Teilaussagen festgelegt.
- Gestank(A,1) UND Luftzug(A,1)
Ist eine Sprache/ein Junktor nicht extensional, wird sie/er als intensional bezeichnet.Beispiel - Intensionale Sprachen
Natürliche Sprachen sind im Allgemeinen intensional.
Die Bedeutung eines Wortes ist oft mehrdeutig und von der Intention des Sprechers abhängig - Aussagen haben oft in verschiedenen Zusammenhängen verschiedene Bedeutungen.
Außerdem können mehrere Worte zwar ein und dasselbe Objekt bezeichnen, aber dennoch als unterschiedlich empfunden werden - die Begriffeund
- Abendstern
bezeichnen z.B. beide den
- Morgenstern
haben aber unterschiedliche Bedeutungen.
- Planeten Venus
Auch die Bedeutung von Sätzen ist nicht immer eindeutig - allein aus der Aussageist z.B. nicht erkennbar, ob
- "Vielleicht gehe ich morgen tanzen, oder ich gehe übermorgen ins Theater"
oder ob ich
- das eine das andere ausschließt
machen könnte.
- auch beides
Formeln & Interpretationen
(Logik Einführung Kapitel 6.4)Diese Seite nimmt Bezug auf
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- Logik Einführung: Die Wumpus-Welt
- Logik Einführung: Syntax
- Logik Einführung: Interpretation
Weitere Themen dieses Kapitels
Betrachten wir nun den Zusammenhang zwischen einer Formel und ihren möglichen Interpretationen.
Wir sagen:
Eine Interpretation erfüllt eine Formel, wenn diese einen Zustand der Welt beschreibt, bei dem die Aussage der Formel wahr ist.
Eine Interpretation erfüllt eine Formelmenge, wenn diese einen Zustand der Welt beschreibt, bei dem alle Formeln der Menge wahr sind.
Erfüllt eine Interpretation eine Formel, wird sie Modell dieser Formel genannt.
Erfüllt eine Interpretation eine Formelmenge, wird sie Modell dieser Formelmenge genannt.
Stimmen die Modelle mehrerer Formeln überein, sagen wir, diese Formeln seien äquivalent.Beispiel - Eine Interpretation erfüllt eine Formel
Betrachten wir wieder die Wumpus-Welt.
Jede Interpretation, die eine Welt beschreibt, in derwahrnehmbar ist, erfüllt die Formel
- auf Feld [B,1] ein Luftzug und
- auf Feld [A,2] ein Gestank
- Luftzug(B,1) UND Gestank(A,2)
Alle diese Interpretationen sind also Modelle.
Erfüllbarkeit
- Logik Einführung: Die Wumpus-Welt
- Logik Einführung: Formeln & Interpretationen
Eine Formel ist erfüllbar, wenn es zumindest eine Interpretation gibt, die die Formel erfüllt.
Eine Formelmenge ist erfüllbar, wenn es zumindest eine Interpretation gibt, die alle Formeln der Menge erfüllt.
Eine Formelmenge ist erfüllbar, wenn es zumindest eine Interpretation gibt, die alle Formeln der Menge erfüllt.
Beispiel - Eine Formel ist erfüllbar
Betrachten wir wieder die Wumpus-Welt.
Die Formelist erfüllbar, da es Welten gibt, in denen
- Luftzug(B,1) UND Gestank(A,2)
wahrnehmbar ist, und alle Interpretationen die diese Welten beschreiben die Formel erfüllen.
- auf Feld [B,1] ein Luftzug und
- auf Feld [A,2] ein Gestank
Widerlegbarkeit
(Logik Einführung Kapitel 6.4.2)- Logik Einführung: Die Wumpus-Welt
- Logik Einführung: Formeln & Interpretationen
Eine Formel ist widerlegbar, wenn es zumindest eine Interpretation gibt, die die Formel nicht erfüllt.
Eine Formelmenge ist widerlegbar, wenn es zumindest eine Interpretation gibt, die keine Formel der Menge erfüllt.
Eine Formelmenge ist widerlegbar, wenn es zumindest eine Interpretation gibt, die keine Formel der Menge erfüllt.
Beispiel - Eine Formel ist widerlegbar
Betrachten wir wieder die Wumpus-Welt.
Die Formelist widerlegbar, da es Welten gibt, in denen entweder
- Luftzug(B,1) UND Gestank(A,2)
wahrnehmbar ist, und alle Interpretationen die diese Welten beschreiben die Formel nicht erfüllen.
- auf Feld [B,1] kein Luftzug, oder
- auf Feld [A,2] kein Gestank
Unerfüllbarkeit
(Logik Einführung Kapitel 6.4.3)- Logik Einführung: Die Wumpus-Welt
- Logik Einführung: Formeln & Interpretationen
Eine Formel ist unerfüllbar, wenn es keine Interpretation gibt, die die Formel erfüllt.
Eine Formelmenge ist unerfüllbar, wenn es keine Interpretation gibt, die alle Formeln der Menge erfüllt.
Eine unerfüllbare Formel wird Widerspruch genannt.
Beispiel - Eine Formel ist unerfüllbar
Betrachten wir wieder die Wumpus-Welt.
Die Formelist unerfüllbar, da sich der Wumpus laut Spieldefinition nicht auf dem Startfeld [A,1] befinden kann.
- Wumpus(A,1)
Gültigkeit
(Logik Einführung Kapitel 6.4.4)Eine Formel ist gültig, wenn alle Interpretationen diese erfüllen.
Eine Formelmenge ist gültig, wenn alle Interpretationen alle Formeln der Menge erfüllen.
Eine Formelmenge ist gültig, wenn alle Interpretationen alle Formeln der Menge erfüllen.
Umgangssprachlich könnte man sagen, die Formel (die Formelmenge) ist allgemeingültig.
Eine gültige Formel wird Tautologie genannt.
Beispiel - Eine Formel ist gültig
Betrachten wir wieder die Wumpus-Welt.
Die Formelist gültig, da es laut Spieldefinition keine Welt geben kann, in der auf einem Feld kein Luftzug spürbar ist, obwohl sich auf einem benachbarten Feld eine Fallgrube befindet.
- WENN (NICHT Luftzug(A,1)) DANN (NICHT Fallgrube(A,2) UND NICHT Fallgrube(B,1))
Zusammenhänge
(Logik Einführung Kapitel 6.4.5)Diese Seite nimmt Bezug auf
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- Logik Einführung: Erfüllbarkeit
- Logik Einführung: Gültigkeit
Es gelten folgende Zusammenhänge zwischen der Gültigkeit und der Erfüllbarkeit einer Formel:
Laut Definition ist eine Formel genau dann gültig, wenn alle Interpretationen diese erfüllen.
Da es nicht möglich ist, dass eine Interpretation eine Formel und ihr Gegenteil erfüllt, kann es keine Interpretation geben, die das Gegenteil der Formel erfüllt.
Dieses ist also lauf Definition unerfüllbar.
Da es nicht möglich ist, dass eine Interpretation eine Formel und ihr Gegenteil erfüllt, kann es nicht sein, dass diese Interpretation das Gegenteil der Formel erfüllt.
Dieses ist also lauf Definition widerlegbar.
Eine Formel ist genau dann gültig, wenn das Gegenteil der Formel unerfüllbar ist.
Da es nicht möglich ist, dass eine Interpretation eine Formel und ihr Gegenteil erfüllt, kann es keine Interpretation geben, die das Gegenteil der Formel erfüllt.
Dieses ist also lauf Definition unerfüllbar.
Eine Formel ist genau dann erfüllbar, wenn das Gegenteil der Formel widerlegbar (also keine Tautologie) ist.
Laut Definition ist eine Formel genau dann erfüllbar, wenn eine Interpretation existiert, die diese erfüllt.Da es nicht möglich ist, dass eine Interpretation eine Formel und ihr Gegenteil erfüllt, kann es nicht sein, dass diese Interpretation das Gegenteil der Formel erfüllt.
Dieses ist also lauf Definition widerlegbar.